Classical and quantum simulations via quantum algorithms

O interesse pela área de informação quântica vem aumentando rapidamente nos últimos anos. Podemos dizer que o principal motivo pelo aumento desse interesse é os novos computadores quânticos que estão aparecendo. Há um grande interesse de diversos grupos com diferentes propósitos de testar as potencialidades dessas máquinas quânticas para investigar seus problemas. Neste novo cenário de computação precisamos desenvolver algoritmos quânticos e usar modelos quânticos de computação para explorar esses novos dispositivos. Indo para esta direção, os principais objetivos desta tese são propor melhorias para um método quânticos de computação, contrastando com seu análogo clássico, e desenvolver novos algoritmos quânticos. Alguns resultados para modelos clássicos e quânticos de computação são apresentados, tendo como foco autômatos celulares particionados e seu análogo quântico. Apresentamos uma nova definição para este modelo de computação, o qual acreditamos ser uma definição mais clara do que as anteriores. Além disso, mostramos uma prescrição geral para traduzir as principais classes de passeios quânticos, como o modelo da moeda, para automatos celulares quânticos. Esperamos que este resultado junto com a nossa nova definição aumente a atividade de pesquisa nesta área. Para a parte clássica dos autômatos celulares, desenvolvemos o "coarse graining", uma ferramenta amplamente explorada para estudar processos emergentes. Nesta parte, vimos processos estocásticos surgindo de processos determinísticos. Ainda no paradigma de espaço e tempo discretos, propomos um algoritmo quântico para simular a equação de onda via simulações de Hamiltonianas. Passamos de uma complexidade clássica que tem um limite inferior que depende exponencialmente da dimensão de rede para uma complexidade quântica que possui um limite superior que depende quadraticamente desse mesmo parâmetro. Neste algoritmo, aplicamos um método sofisticado de discretização, via teoria espectral de grafos, a fim de alcançar a discretização da rede. Mostramos como usar este método de discretização para estabelecer as condições de contorno de Dirichlet e Neumann em nosso algoritmo. Também trabalhamos com alguns exemplos práticos para confirmar que nosso método funciona. Apresentamos também um modelo de redes de gases quânticos através de caminhadas quânticas. Nós generalizamos o primeiro modelo de colisão de gases , chamado por HPP, para codificar nossa versão quântica. Empregamos o modelo de caminhantes quânticos com dois caminhantes interagentes em uma rede bidimensional para realizar nossas análises. Mostramos como essa interação simples gera emaranhamento entre as partículas e como ele aumenta com o tempo.