Disordered systems : from the replica method to the distributional zeta-function approuch

Nesta tese apresenta-se uma técnica matematicamente rigorosa para calcular a energia livre media de sistemas com desordem {\it quenched}, cujo elemento fundamental é o que os proponentes denominam função zeta distribucional. A partir desse novo objeto matemático é possível escrever a energia livre media desse tipo de sistemas como a soma de duas contribuições, a primeira é representada por uma serie conformada por todos e cada um dos momentos da função de partição, a outra, por sua vez, pode considerar-se desprezível. Com o intuito de analisar as consequências da implementação dessa nova abordagem aqui estudamos três modelos diferentes de sistemas desordenados na formulação continua. Embora o foco principal da tese seja estudar modelos com desordem sob a lente da técnica acima referida, inicialmente usamos o método de réplicas para discutir efeitos de tamanho finito no modelo $\lambda \varphi^4$ definido num espaço Euclideano d-dimensional onde o campo escalar satisfaz condições de contorno periódicas e é acoplado linearmente a um campo externo desordenado. Assim, examinando os efeitos de tamanho finito usando à aproximação a um {\it loop} para d = 3 e d = 4 mostramos que em ambos os casos existe um comprimento crítico onde o sistema sofre uma transição de fase de segunda ordem. De modo similar, o uso do método do operador de campo composto indica que o quadrado da masa renormalizada decresce em função do radio de compactificação. No que se refere à função zeta distribucional, primeiramente consideramos a formulação de campo da teoria de polímeros e interfaces em presença de uma desordem {\it quenched}. Os resultados que nós obtemos são similares ao resultados proporcionados pelo método de réplicas sem quebra de simetria de réplicas. Em seguida, discutimos o modelo $\lambda \varphi^4$ definido num espaço Euclideano d-dimensional onde o campo escalar é acoplado linearmente a um campo externo desordenado. A este respeito, a função de partição de cada conjunto de replicas, ou equivalentemente os momentos da função de partição, exibem o mecanismo de quebra espontânea de simetria. Ao discutir efeitos de temperatura finita nesse modelo através da imposição de condições de contorno periódicas sobre campo ao longo de uma das dimensões Euclideanas, encontramos a existência de N {\it instantons} no regime de baixas temperaturas. Finalmente, estudamos o modelo de Landau-Ginzburg $\lambda \varphi^4 + \rho \varphi^6$ definido num espaço Euclideano d-dimensional. Aqui mostramos que a expressão da energia livre media derivada da função zeta distribucional pode ser usada para representar um sistema com múltiplos estados fundamentais, cada um com parâmetro de ordem diferente. Em baixas temperaturas, mostramos a presença de estados de equilíbrio metaestável para alguns grupos de réplicas, dependendo dos valores de certos parâmetros físicos. No final, com o objetivo de ir além da aproximação de campo médio, a renormalização do modelo a um {\it loop} é realizada.