Aspects of Quantum Field Theory and Number Theory

A hipótese de Riemann afirma que todos os zeros não triviais da função zeta estão na linha crítica Re(s) = 1/2. Motivado pela conjectura Hilbert-Polya a qual afirma que uma maneira possível de provar a hipótese de Riemann é interpretar os zeros não triviais à luz da teoria espectral, muita atividade tem se dedicado a estabelecer uma ponte entre a teoria dos números e a física. Utilizando as técnicas da função zeta espectral nós mostramos que os números primos e os zeros de Riemann tem um comportamento diferente como o espectro de um operador linear associado a um sistema com um número infinito contável de graus de liberdade. Para explorar mais conexões entre a teoria quântica de campos e a teoria dos números, estudamos três sistemas envolvendo essas duas sequências de números. Primeiro, discutimos a energia do ponto zero renormalizada para um campo escalar massivo de tal forma que os zeros Riemann aparecem no espectro dos modos de vácuo. Este campo escalar é definido em um espaço-tempo plano (d + 1)-dimensional, assumindo que uma das coordenadas encontra-se em um intervalo finito [0, a]. Para um espaço-tempo de dimensão par, encontramos uma densidade de energia regularizada finita, enquanto que para um espaço-tempo de dimensão ímpar é necesseario introduzir contratermos de massa para podermos definir uma energia do vácuo renormalizada. Em segundo lugar, nós estabelecemos uma conexão notável entre a distribuição assintótica dos zeros de Riemann com o comportamento assintótico da função de correlação de dois pontos no espaço dos momentos do modelo sigma não-linear. Isto é feito na ordem dominante na expansão 1/N em um espaço euclidiano bidimensional. Finalmente, estudamos as consequências da introdução de aleatoriedade em um gás aritmético. Nós estudamos as variáveis termodinâmicas como a densidade de energia livre média e a densidade de energia média no plano complexo β. Definimos uma temperatura de Hagedorn acima da qual o sistema não pode ser aquecido. Nessa temperatura a divergência da função de partição está relacionada com o teorema dos número primos. Para um ensemble formado por um conjunto infinito enumerável de cópias mostramos que a densidade de energia média depende fortemente da distribuição dos zeros de Riemann. Enquanto que, considerando um ensemble feito por um conjunto não enumerável de cópias, o comportamento singular da densidade de energia livre média desaparece. Nós obtemos uma densidade de energia média não singular do sistema utilizando um procedimento de regularização analítica.