Aspectos Algébricos e Geométricos dos Modelos de Toda

Estudamos a relação entre o formalismo grupo-algébrico e a simetria de vestimento para as soluções solitônicas da teoria de campo de Toda A_n^((1)) em dimensão 1+1. Sólitons nos modelos de Toda afim têm sido encontrados originalmente por Olive, Turok e Underwood. Monossólitons são criados por exponenciais de elementos que ad-diagonalizam a subálgebra principal de Heisenberg. Alternativa Babelon e Bernard exploraram a simetria vestimento para reproduzir as expressões conhecidas para as funções tau fundamentais no modelo sine-Gordon. Nesta tese mostramos a equivalência entre estes dois métodos para construir sólitons nos modelos A_n^((1)) Toda. Estudando a geometria Riemanniana interna das superfícies de curvatura escalar constante negativa, obtemos um mapa natural entre as equações de Liouville e sine-Gordon. Considerando imersões isométricas no plano de Lobachevski, obtemos uma expressão uniforme para a solução geral (localmente definida) de ambas as equações. Provamos que há uma transformação de Lie-Bäcklund que mapeia Liouville em sine-Gordon e vice-versa. Derivamos também uma auto-transformação de Bäcklund para a equação de Liouville.