The vacuum energy with non-ideal boundary conditions via approximate functional equation

Apresentamos em linhas gerais o esquema de quantização canônica para o campo eletromagnético e a descrição de sua energia de ponto-zero. Esta energia é divergente e métodos matemáticos de regularização e renormalização são necessários para torná-la finita. Devido à semelhança com o caso eletromagnético, discutiremos um desses métodos aplicados a energia do vácuo de um campo escalar quantizado na presença de superfícies onde o campo satisfaz condições de contorno ideais. Definimos domínios limitados Ω ⊂ Rd, nos quais o campo pode satisfazer condições de contorno ideais ou não ideais. Chamamos isso de condições de contorno de Dirichlet ideais para altas frequências. Utilizando um procedimento de regularização analítica, obtemos a energia do vácuo para um campo escalar sem massa a temperatura zero na presença de duas supercífices planas definindo o domínio Ω = Rd−1 × [0, L] com condições de contorno de Dirichlet. Para abordar o caso de condições de contorno não ideais, utilizamos uma expansão assintótica baseada em uma equação funcional aproximada para a função zeta de Riemann, onde são definidas somas finitas fora do domínio original de convergência. No contexto eletromagnético, mostramos que esta situação descreve a correção de condutividade finita para a energia de ponto-zero. Finalmente, para obter a energia de Casimir para um campo escalar sem massa na presença de uma caixa retangular, com comprimentos L1 e L2, ou seja, Ω = [0, L1] × [0, L2] com condições de contorno não ideais, usamos uma equação funcional aproximada da função zeta de Epstein.