Osciladores não comutativos. Uma abordagem algébrica de Hopf

Neste trabalho iremos estudar modelos de mecânica quântica não comutativa através das deformações de álgebras de Hopf, em particular pelo Twist de Drinfel'd. Serão estudadas duas deformações distintas para um oscilador harmônico. Primeiramente mostraremos como introduzir de forma apropriada uma álgebra de Lie dinâmica, incluindo a constante de Planck como uma extensão central, seguindo [1]. Com uma álgebra de Lie em mãos, utilizamos a álgebra universal envelopante a m de obtermos uma álgebra de Hopf, e em seguida utilizamos o Twist de Drinfel'd para deformá-la. Seguindo o trabalho de Woronowicz [2], encontramos os geradores deformados, e mostramos que estes satisfazem relações de comutação deformadas sob a ação adjunta usual, apesar de a ação adjunta deformada levar às mesmas constantes de estrutura. Duas deformações são estudadas, a primeira levando a uma não comutatividade constante e a outra levando a uma similar à de nida por Snyder [3]. No primeiro caso mostramos que o espectro é o mesmo encontrado na literatura, assim como a quebra de simetria rotacional. No segundo caso a teoria resultante é pseudo-hermitiana, e encontramos um produto interno apropriado para o sistema físico. Nos dois casos a interpretação física do coproduto leva a uma não aditividade na energia de estados de múltiplas partículas.